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• KAN; Kolmogorov-Arnold Networks

KAN; Kolmogorov-Arnold Networks

Abstract

Inspired by the Kolmogorov-Arnold representation theorem, we propose Kolmogorov-Arnold Networks (KANs) as promising alternatives to Multi-Layer Perceptrons (MLPs). While MLPs have fixed activation functions on nodes (“neurons”), KANs have learnable activation functions on edges (“weights”). KANs have no linear weights at all – every weight parameter is replaced by a univariate function parametrized as a spline. We show that this seemingly simple change makes KANs outperform MLPs in terms of accuracy and interpretability. For accuracy, much smaller KANs can achieve comparable or better accuracy than much larger MLPs in data fitting and PDE solving. Theoretically and empirically, KANs possess faster neural scaling laws than MLPs. For interpretability, KANs can be intuitively visualized and can easily interact with human users. Through two examples in mathematics and physics, KANs are shown to be useful collaborators helping scientists (re)discover mathematical and physical laws. In summary, KANs are promising alternatives for MLPs, opening opportunities for further improving today’s deep learning models which rely heavily on MLPs.

• Speakers: Ziming Liu

이 논문에서는 콜모고로프-아놀드 표현 정리에서 영감을 받아 다층 퍼셉트론(MLP)의 유망한 대안으로 콜모고로프-아놀드 네트워크(KAN)을 제안합니다.

MLP는 노드(“뉴런”)에서 활성화 함수가 고정되어 있는 반면, KAN은 가중치(“엣지”)에서 학습 가능한 활성화 함수를 사용합니다. KAN은 선형 가중치를 전혀 사용하지 않고 모든 가중치 매개변수는 스플라인 함수로 매개변수화된 단변수 함수로 대체됩니다.

이 논문에서는 이러한 간단해 보이는 변화가 KAN을 정확도와 해석 가능성 측면에서 MLP보다 뛰어나게 만든다는 것을 보여줍니다. 정확도 측면에서 훨씬 작은 KAN은 데이터 피팅과 편미분 방정식(PDE) 풀이에서 훨씬 큰 MLP보다 동등하거나 더 나은 정확도를 달성할 수 있습니다. 이론적 및 경험적으로 KAN은 MLP보다 빠른 신경망 스케일 법칙을 가지고 있습니다.

해석 가능성 측면에서 KAN은 직관적으로 시각화할 수 있으며 사람 사용자와 쉽게 상호 작용할 수 있습니다. 수학 및 물리학의 두 가지 예를 통해 KAN은 과학자들이 수학적 및 물리적 법칙을 (재)발견하는 데 도움이 되는 유용한 협업 도구임을 보여줍니다.

요약하자면, KAN은 MLP에 크게 의존하는 현재 딥러닝 모델을 더욱 개선할 수 있는 기회를 열어주는 유망한 MLP 대안입니다.

콜모고로프-아놀드 표현 정리 (Kolmogorov-Arnold Representation Theorem) 상세 설명

1. 정리 개요

콜모고로프-아놀드 표현 정리는 해밀턴 역학 시스템에서 거의 모든 준주기적 해가 불변 원환면(invariant torus)으로 표현될 수 있다는 것을 나타내는 정리입니다. 이 정리는 1963년 러시아 수학자 콜모고로프와 아놀드에 의해 독립적으로 증명되었습니다.

2. 정리 내용

정리 내용을 이해하기 위해 먼저 해밀턴 시스템과 준주기적 해에 대한 개념을 정의해야 합니다.

• 해밀턴 시스템: 위치와 운동량으로 표현되는 물리적 시스템을 의미합니다. 이 시스템은 해밀토니언이라는 에너지 함수로 정의됩니다. 해밀턴 시스템의 시간 진화는 해밀턴 방정식을 통해 결정됩니다.
• 준주기적 해: 해밀턴 시스템의 궤적이 특정 방향으로 일정한 빈도로 진동하는 해를 의미합니다. 하지만 진동 주기가 유리수가 아닌 경우를 의미합니다. 즉, 두 개의 서로 다른 주기로 진동하는 것을 의미합니다.

콜모고로프-아놀드 표현 정리는 다음과 같은 내용을 나타냅니다.

• 조건:
  • 해밀턴 시스템이 적분가능해야 합니다. 즉, 해밀토니언이 N개의 독립적인 좌표에 대해 분리될 수 있어야 합니다.
  • 해밀턴 시스템의 섭동이 충분히 작아야 합니다. 섭동은 해밀토니언에 추가되는 작은 함수를 의미합니다.
• 결론: 위 조건을 만족하는 해밀턴 시스템에서 거의 모든 준주기적 해는 N차원 불변 원환면으로 표현될 수 있습니다. 즉, N개의 좌표가 일정한 비율로 진동하는 궤적으로 표현될 수 있습니다.

3. 정리의 중요성

콜모고로프-아놀드 표현 정리는 해밀턴 역학 시스템의 이해에 중요한 역할을 합니다. 이 정리는 다음과 같은 중요성을 지닙니다.

• 준주기적 해의 구조 이해: 정리는 준주기적 해가 불변 원환면으로 표현될 수 있다는 것을 보여주므로, 준주기적 해의 구조를 이해하는 데 도움이 됩니다.
• 섭동 이론 발전: 정리는 섭동 이론의 발전에 중요한 역할을 했습니다. 섭동 이론은 작은 섭동이 시스템의 동작에 미치는 영향을 연구하는 이론입니다.
• 응용: 정리는 다양한 분야에 응용되고 있습니다. 예를 들어, 천체 역학, 플라즈마 물리학, 고체 역학 등에 응용되고 있습니다.

4. 정리의 한계

콜모고로프-아놀드 표현 정리는 다음과 같은 한계를 가지고 있습니다.

• 조건 제약: 정리는 해밀턴 시스템이 적분가능하고 섭동이 충분히 작아야만 적용될 수 있습니다. 현실적인 시스템은 이러한 조건을 항상 만족하지 않을 수 있습니다.
• 정확한 해 구하기 어려움: 정리는 불변 원환면의 존재를 보여주지만, 정확한 형태를 구하는 것은 일반적으로 어렵습니다.
• 카오스와의 관계: 정리는 카오스 시스템에 적용되지 않습니다. 카오스 시스템은 작은 섭동에도 민감하게 반응하는 시스템을 의미합니다.