Backdoor Criterion

Backdoor criterion는 인과 추론에서 변수 \(X\)의 효과를 결과 \(Y\)에 대해 추정할 때, 혼란(confounding) 요인에 의한 왜곡을 제거하기 위한 조건이다. 이 기준은 Judea Pearl이 제안한 것으로, 인과 그래프(DAG) 상에서 \(X\)와 \(Y\) 사이의 인과 효과를 올바르게 식별하기 위해 조정해야 할 변수 집합 \(Z\)를 결정하는 방법을 제공한다.

1. 기본 개념

인과 그래프에서는 변수들 간의 인과 관계가 방향성 있는 엣지로 표현된다. \(X\)가 \(Y\)에 인과적 영향을 미치고 있다고 가정할 때, \(X\)와 \(Y\) 사이에는 인과 경로가 존재한다. 그러나 관측 데이터에는 \(X\)와 \(Y\) 사이의 순수한 인과 효과뿐만 아니라, 공통 원인(confounder)에 의한 상관관계도 포함될 수 있다.

Backdoor path란 \(X\)에서 시작하여 \(Y\)로 도달하는 경로 중, 첫 번째 엣지가 \(X\)로 들어오는(즉, \(X\)의 원인이 되는) 경로를 의미한다. 이 경로는 \(X\)와 \(Y\) 사이에 인과적 연결이 없더라도 두 변수 간의 상관관계를 유발할 수 있다.

Backdoor criterion는 이러한 모든 backdoor path를 차단(block)하는 변수 집합 \(Z\)를 찾는 조건이다. \(Z\)가 backdoor criterion을 만족하면, 아래와 같이 조정된 분포를 통해 인과 효과를 식별할 수 있다.

\[P(Y \mid do(X=x)) = \sum_{z} P(Y \mid X=x, Z=z) P(Z=z)\]

여기서 \(do(X=x)\)는 \(X\)에 대해 인위적 개입을 했을 때의 분포를 나타낸다.

2. Backdoor Criterion의 정의

변수 집합 \(Z\)가 \(X\)와 \(Y\) 사이에서 backdoor criterion을 만족하기 위해서는 두 조건을 충족해야 한다.

후방 경로 차단 (Blocking of Backdoor Paths):
\(X\)에서 \(Y\)로 가는 모든 backdoor path가 \(Z\)에 의해 차단되어야 한다. 즉, \(Z\)를 조건으로 할 때, \(X\)와 \(Y\) 사이의 통계적 독립성이 성립해야 한다(혼란 요인의 영향을 제거).
조정 변수의 선택 (No Descendants of \(X\)):
\(Z\)에 \(X\)의 후손(Descendant)이 포함되어서는 안 된다. \(X\)의 후손을 조건으로 하면 인과 효과의 경로를 왜곡시킬 위험이 있다.

3. 구체적 예제

예제 1: 공통 원인 모형

변수 \(X\)와 \(Y\)가 공통 원인 \(U\)에 의해 연결된 경우를 생각해보자.

\[U \rightarrow X, \quad U \rightarrow Y, \quad X \rightarrow Y\]

이 경우, \(U\)는 \(X\)와 \(Y\) 사이의 backdoor path \(X \leftarrow U \rightarrow Y\)를 형성한다.

문제: 관측된 \(P(Y \mid X)\)는 \(X\)의 직접적 인과 효과 외에도 \(U\)에 의한 영향을 포함한다.
해결: 변수 \(U\)를 조정 변수로 선택하면, backdoor path가 차단된다. 즉, \(Z = \{U\}\)로 조정하면 \(P(Y \mid do(X=x)) = \sum_{u} P(Y \mid X=x, U=u) P(U=u)\) 이 식을 통해 \(X\)의 인과 효과를 정확하게 추정할 수 있다.

예제 2: 매개 변수와 혼란 변수의 구분

인과 그래프에서 \(X\)가 \(Y\)에 영향을 미치며, 동시에 \(X\)와 \(Y\) 사이에 공통 원인 \(C\)가 존재한다고 하자.

\[C \rightarrow X, \quad C \rightarrow Y, \quad X \rightarrow Y\]

여기서 \(C\)는 \(X\)와 \(Y\) 사이의 backdoor path \(X \leftarrow C \rightarrow Y\)를 형성한다.

조정 방법: \(C\)를 조건 변수로 사용하면 backdoor path가 차단되어, \(X\)의 인과 효과를 추정할 수 있다.

4. 요약

Backdoor criterion은 인과 그래프 상에서 \(X\)와 \(Y\) 사이의 순수 인과 효과를 추정하기 위해, \(X\)의 부모가 되는 변수들 중에서 \(X\)와 \(Y\) 사이의 backdoor path를 모두 차단할 수 있는 적절한 변수 집합 \(Z\)를 선택하는 기준이다.

\(Z\)는 \(X\)의 후손을 포함하지 않아야 하며, 모든 backdoor path를 차단해야 한다.
이 조건이 충족되면, 관측 분포 \(P(Y \mid X, Z)\)를 이용하여 \(P(Y \mid do(X))\)를 식별할 수 있다.

이와 같이 Backdoor criterion은 인과 효과 추정에서 혼란 요인을 통제하여, 올바른 인과 추론을 가능하게 하는 핵심 원칙으로 사용된다.

Stop Thinking, Just Do!