Marginal Probability Path

Marginal Probability Path는 일반적으로 확률론, 통계 물리학, 또는 확률 과정(probabilistic processes)과 관련된 개념으로, 특정 확률 과정의 부분적인(marginal) 분포를 시간에 따라 추적하거나 특정 경로(path)에 초점을 맞춘 개념입니다. 그러나 “Marginal Probability Path”는 표준적인 학술 용어로 널리 정의된 개념은 아니므로, 질문의 맥락을 고려해 Marginal Probability와 Probability Path를 결합한 개념으로 해석하겠습니다. 특히, 이전 질문에서 다룬 Dirac distribution과 Gaussian probability path와의 연관성을 바탕으로, 이 개념을 확률 과정의 맥락에서 상세히 설명하겠습니다.

아래에서는 Marginal Probability Path를 확률 과정의 특정 변수 또는 부분 집합에 대한 주변 확률(marginal probability)을 시간에 따라 추적하는 경로로 정의하고, 그 정의, 성질, 수학적 표현, 응용, 그리고 이전 질문과의 연관성을 다룹니다.

1. Marginal Probability Path의 직관적 개념

Marginal Probability Path는 확률 과정에서 모든 변수가 아닌 특정 변수(또는 부분 집합)에 대한 확률 분포를 시간(또는 다른 인덱스)에 따라 추적한 결과로 이해할 수 있습니다. 확률 과정은 시간에 따라 변하는 확률 변수 \(\{ X(t) \}_{t \in T}\)로 구성되며, 이 과정의 특정 시점에서 모든 변수의 결합 분포(joint distribution) 대신, 일부 변수에 대한 주변 분포(marginal distribution)를 고려합니다. 이 주변 분포를 시간에 따라 연결하면 “Marginal Probability Path”가 형성됩니다.

직관적으로:

확률 과정의 경로(path)는 시간 \(t\)에 따라 \(X(t)\)의 값을 연결한 궤적입니다.
Marginal Probability Path는 전체 과정의 일부 변수(예: \(X_1(t)\))에 대한 확률 분포만을 추적한 경로로, 나머지 변수(예: \(X_2(t), X_3(t), \dots\))를 적분하여 제거한 결과입니다.
이는 복잡한 시스템에서 관심 있는 변수만을 분석하거나, 고차원 확률 과정에서 차원을 줄여 단순화할 때 유용합니다.

예: 주식 포트폴리오의 여러 주식 가격 \(\{ X_1(t), X_2(t), \dots \}\)가 시간에 따라 변하는 확률 과정이라면, Marginal Probability Path는 특정 주식 \(X_1(t)\)의 확률 분포만 시간에 따라 추적한 것입니다.

2. 수학적 정의

Marginal Probability Path를 정의하기 위해, 먼저 확률 과정과 주변 분포의 개념을 명확히 하겠습니다.

(1) 확률 과정

확률 과정은 시간 \(t \in T\)에 따라 정의된 확률 변수 \(\{ X(t) \}_{t \in T}\)의 집합입니다. \(X(t)\)는 스칼라일 수도 있고, 벡터(예: \(X(t) = (X_1(t), X_2(t), \dots, X_n(t))\))일 수도 있습니다. 특정 시점 \(t_1, t_2, \dots, t_m\)에서의 결합 분포는: \(p(X(t_1), X(t_2), \dots, X(t_m)).\)

(2) 주변 분포 (Marginal Distribution)

주변 분포는 결합 분포에서 관심 없는 변수를 적분하여 제거한 결과입니다. 예를 들어, \(X(t) = (X_1(t), X_2(t))\)인 경우, \(X_1(t)\)의 주변 분포는: \(p(X_1(t)) = \int p(X_1(t), X_2(t)) \, dX_2(t).\)

(3) Marginal Probability Path

Marginal Probability Path는 특정 변수(예: \(X_1(t)\))의 주변 분포 \(p(X_1(t))\)를 시간 \(t \in T\)에 따라 추적한 것입니다. 이는 다음과 같이 표현됩니다:

각 시점 \(t\)에서 \(X_1(t)\)의 확률 밀도 함수 \(p(X_1(t))\)를 계산.
시간 \(t\)에 따라 \(p(X_1(t))\)의 변화를 관찰하거나, \(X_1(t)\)의 샘플 경로를 주변 분포를 기반으로 생성.

만약 여러 시점 \(t_1, t_2, \dots, t_m\)을 고려한다면, Marginal Probability Path는 \((X_1(t_1), X_1(t_2), \dots, X_1(t_m))\)의 결합 주변 분포: \(p(X_1(t_1), X_1(t_2), \dots, X_1(t_m)) = \int p(X_1(t_1), X_2(t_1), \dots, X_1(t_m), X_2(t_m)) \, dX_2(t_1) \cdots dX_2(t_m),\) 를 기반으로 한 경로로 나타납니다.

(4) 경로의 샘플링

Marginal Probability Path를 생성하려면:

전체 확률 과정의 결합 분포에서 관심 변수(예: \(X_1(t)\))의 주변 분포를 계산.
주변 분포에서 샘플을 추출하여 시간에 따른 경로 \(x_1(t)\)를 생성.
또는, 전체 과정의 경로 \(x(t) = (x_1(t), x_2(t), \dots)\)를 샘플링한 뒤, \(x_1(t)\)만 추출.

3. 주요 성질

Marginal Probability Path의 성질은 기반이 되는 확률 과정의 성질에 따라 달라집니다. 몇 가지 일반적인 성질은 다음과 같습니다:

(1) 차원 축소

Marginal Probability Path는 전체 확률 과정의 일부 변수만 고려하므로, 고차원 과정의 복잡성을 줄입니다. 이는 계산 효율성을 높이고 해석을 단순화합니다.

(2) 분포의 유지

만약 원래 확률 과정이 특정 분포(예: 가우시안)를 따른다면, 주변 분포도 동일한 분포 계열을 따를 가능성이 높습니다. 예:

가우시안 과정의 경우, 주변 분포는 여전히 가우시안입니다.
마르코프 과정의 경우, 주변 분포는 마르코프 성질을 유지하지 않을 수 있음.

(3) 상관 구조

Marginal Probability Path는 원래 과정의 공분산 구조를 반영합니다. 예를 들어, \(X_1(t)\)와 \(X_2(t)\)가 강하게 상관되어 있다면, \(X_1(t)\)의 주변 분포는 \(X_2(t)\)의 영향을 간접적으로 포함합니다.

(4) 시간적 연속성

확률 과정의 경로가 연속적이라면, Marginal Probability Path도 연속적일 가능성이 높습니다. 이는 공분산 함수 또는 전이 확률(transition probability)에 의존.

4. Marginal Probability Path와 이전 질문의 연관성

이전 질문에서 다룬 Dirac distribution과 Gaussian Probability Path와의 연관성을 바탕으로 Marginal Probability Path를 살펴보겠습니다.

(1) Dirac Distribution과의 연관성

Dirac distribution은 특정 점에서 확률이 집중된 분포로, Marginal Probability Path에서는 다음과 같은 방식으로 나타날 수 있습니다:

확률 과정의 특정 변수가 이산적(discrete)이거나 특정 값에 집중된 경우, 주변 분포가 Dirac delta로 표현될 수 있음.
예: \(X(t) = (X_1(t), X_2(t))\)에서 \(X_2(t)\)가 \(X_2(t) = a\)에 고정된 경우, \(X_2(t)\)의 주변 분포는: \(p(X_2(t)) = \delta(X_2(t) - a).\)
이 경우, Marginal Probability Path는 \(X_2(t) = a\)로 고정된 경로로 나타나며, \(X_1(t)\)의 주변 분포만 시간에 따라 추적.

(2) Gaussian Probability Path와의 연관성

Gaussian Probability Path는 가우시안 과정의 경로로, Marginal Probability Path는 가우시안 과정의 일부 변수에 대한 주변 분포로 정의됩니다. 가우시안 과정의 경우:

전체 과정 \(X(t) = (X_1(t), X_2(t))\)가 가우시안이라면, \(X_1(t)\)의 주변 분포도 가우시안.
\(X_1(t)\)의 Marginal Probability Path는 가우시안 과정 \(X_1(t) \sim \mathcal{GP}(m_1(t), k_1(t, t'))\)의 경로로 나타남.
공분산 함수 \(k_1(t, t')\)는 원래 과정의 공분산 함수에서 \(X_2(t)\)를 적분하여 얻음.

예: 가우시안 과정 \(X(t) = (X_1(t), X_2(t))\)의 결합 분포가: \((X_1(t), X_2(t)) \sim \mathcal{N}\left( \begin{pmatrix} m_1(t) \\ m_2(t) \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} k_{11}(t, t') & k_{12}(t, t') \\ k_{21}(t, t') & k_{22}(t, t') \end{pmatrix} \right),\) 라면, \(X_1(t)\)의 주변 분포는: \(X_1(t) \sim \mathcal{N}(m_1(t), k_{11}(t, t')).\) 이 경우, Marginal Probability Path는 \(X_1(t)\)의 가우시안 경로입니다.

5. 응용

Marginal Probability Path는 다양한 분야에서 활용됩니다:

(1) 기계 학습

가우시안 과정 회귀: 고차원 입력에서 일부 변수만 고려하여 예측. 예: 공간-시간 데이터에서 특정 위치의 시간적 변화만 분석.
차원 축소: 고차원 데이터의 주변 분포를 분석하여 특징 추출.

(2) 금융 수학

포트폴리오에서 특정 자산의 가격 경로만 분석. 예: 여러 주식 중 하나의 Marginal Probability Path를 추적하여 리스크 평가.
옵션 가격 책정에서 특정 변수의 경로를 모델링.

(3) 통계 물리학

복잡한 시스템(예: 입자 시스템)에서 특정 입자의 운동 경로를 주변 분포로 분석.
예: 브라운 운동에서 특정 방향(예: x축)의 경로만 추적.

(4) 신호 처리

다변수 시계열 데이터에서 특정 신호의 시간적 변화만 추적. 예: 센서 네트워크에서 특정 센서의 데이터 경로 분석.

(5) 의학 및 생물학

생체 신호(예: 심박수, 뇌파)에서 특정 변수의 시간적 변화를 주변 분포로 모델링.

6. 예시

예시 1: 가우시안 과정의 Marginal Probability Path

2차원 가우시안 과정 \(X(t) = (X_1(t), X_2(t))\)가 주어졌다고 가정:

평균: \(m(t) = (m_1(t), m_2(t))\).
공분산: \(k(t, t') = \begin{pmatrix} k_{11}(t, t') & k_{12}(t, t') \\ k_{21}(t, t') & k_{22}(t, t') \end{pmatrix}\).
\(X_1(t)\)의 주변 분포는 \(\mathcal{N}(m_1(t), k_{11}(t, t'))\).

Marginal Probability Path는 \(X_1(t)\)의 샘플 경로 \(x_1(t)\)로, \(X_2(t)\)를 적분하여 제거한 결과입니다. 이를 시뮬레이션하려면:

\(t_1, t_2, \dots, t_n\)에서 \(X_1(t)\)의 주변 분포를 샘플링.
샘플을 연결하여 경로 \(x_1(t)\) 생성.

예시 2: Dirac Delta가 포함된 경우

확률 과정 \(X(t) = (X_1(t), X_2(t))\)에서 \(X_2(t) = a\)로 고정된 경우:

결합 분포: \(p(X_1(t), X_2(t)) = p(X_1(t)) \delta(X_2(t) - a)\).
\(X_1(t)\)의 주변 분포: \(p(X_1(t))\).
\(X_2(t)\)의 주변 분포: \(p(X_2(t)) = \delta(X_2(t) - a)\).

이 경우, \(X_2(t)\)의 Marginal Probability Path는 \(x_2(t) = a\)로 고정된 경로입니다.

7. 주의점

정보 손실: 주변 분포는 나머지 변수를 적분하여 제거하므로, 변수 간 상관관계 정보가 손실될 수 있음.
계산 복잡도: 고차원 확률 과정에서 주변 분포를 계산하려면 다중 적분이 필요할 수 있으며, 이는 계산적으로 비용이 큼.
분포의 성질: 원래 과정의 분포가 비가우시안(non-Gaussian)인 경우, 주변 분포가 복잡한 형태를 가질 수 있음.

8. 결론

Marginal Probability Path는 확률 과정에서 특정 변수의 주변 분포를 시간에 따라 추적한 경로로, 전체 과정의 부분적 분석을 가능하게 합니다. 가우시안 과정에서는 주변 분포가 가우시안으로 유지되며, Dirac distribution은 특정 값에 고정된 경로를 표현할 때 유용합니다. 이 개념은 기계 학습, 금융, 물리학 등에서 복잡한 시스템의 단순화와 분석에 활용됩니다.

Stop Thinking, Just Do!