학습된 데이터 다양체의 접선 다발 위로 동역학을 강제해, 궤적이 다양체를 이탈하는 환각을 구조적으로 제거하는 통합 프레임워크.
Neural ODE나 연속 정규화 흐름은 대개 고차원 잠재 공간을 유클리드 평면으로 간주하고 벡터장을 직접 매개변수화한다. 그러나 이 기하학적 무관심은 데이터 지지집합의 내재적 곡률을 무시하며, 두 가지 치명적인 이탈 오차를 낳는다.
국소 이웃에서 상충하는 속도 신호(v_a, v_b)를 평균 내면, 보간된 벡터 v_c가 다양체 표면에 직교하는 무효한 방향을 가리킨다.
순간 속도가 접선 방향이더라도, 주변 공간에서 취한 이산 적분 스텝은 곡률을 가진 다양체를 벗어난다. 이 법선 편차가 누적돼 궤적을 비현실적 영역으로 몰아간다.
Neural Manifold ODE나 Riemannian Flow Matching 같은 선행 연구는 중요한 기하학적 참조점을 제공하지만, 대개 다양체 기하가 알려져 있거나 해석적으로 명시된다고 가정한다. 유전자 발현이나 영상처럼 다양체를 사전에 알 수 없는 고차원 관측 영역에서는, 차트 의존 연산이나 발산 추정이 상당한 부담을 부른다.
GFG는 정적 위상 정체성과 동적 진화 경향을 명시적으로 풀어내는 이중 스트림 구조를 채택한다. 상태 스트림은 다양체 지지집합을 구성하고, 동역학 스트림은 재사용 가능한 속도 원자로 진화를 표현한다.
상태 인코더가 관측 x를 잠재 공간에 투영하고, 위상 코드북(K=512)의 최근접 원형으로 이산화한다. 디코더 D_s가 생성기 역할을 하며 다양체 지지집합 M을 매개변수화한다.
속도 인코더가 정적 정체성 대신 운동 단서를 추출한다. 연속 벡터를 직접 회귀하는 대신, 동역학 원자(L=16)의 가중합으로 잠재 속도를 구성해 상충하는 흐름을 구별된 모드로 분리한다.
평활화 표류의 근원은 상충하는 속도를 하나의 평균으로 뭉개는 데 있다. 속도를 이산 원자의 사전(dictionary)으로 양자화하면, 모델이 다양체를 벗어난 평균으로 회귀하는 대신 서로 다른 동역학 모드를 선택하도록 강제된다. 이 사전 기반 정식화가 강건성과 해석 가능성을 동시에 높인다.
잠재 속도 v_lat은 내재 잠재 공간에 머문다. 이를 기하 제약을 지키며 고차원 관측 공간으로 되돌리기 위해, GFG는 자코비안을 명시적으로 구성하지 않고 야코비안-벡터 곱(JVP)을 이용한다. 생성기를 잠재 벡터 방향으로 미분한 방향 도함수는 정확히 접선 공간에 놓인다.
이 연산은 행렬을 실체화하지 않는(matrix-free) 단일 JVP만으로 접선 속도를 만든다. 명시적 차트 구성이나 전체 자코비안 기반 투영을 피하므로, 차원이 커져도 비용이 폭증하지 않는다.
전체 손실은 도메인 불변의 위상 재구성 항과 도메인 특화 물리 일관성 항으로 구성된다. L_total = L_topo + λ·L_phy. 위상 항은 표준 VQ-VAE 목적으로 유효한 데이터 분포 위에 접선 다발을 고정하고, 물리 항은 예측 접선 속도가 지배 물리 법칙을 따르도록 도메인별 물리 제약 함수의 잔차를 최소화한다.
GFG는 세 개의 이질적 영역에서 검증된다. 각 영역은 동역학 모델링의 근본 난제를 하나씩 고립시켜 다룬다 — 희소 시스템의 수치 발산, 복잡한 계통의 평균화 딜레마, 그리고 합성 콘텐츠의 물리 위반.
희소·비균일 샘플링 아래의 원운동계에서, 접선 제약이 위상 모호성을 해소해 정확한 방정식 계수를 복원한다.
정적 스냅숏에서 세포 전이를 추론한다. 접선 다발 투영이 생물학적으로 불가능한 지름길 전이를 억제하고, 속도 원자가 계통을 직교 분리한다.
투영 잔차를 학습 불필요한 물리 비평가로 재활용한다. 사전학습 월드 모델의 암묵 흐름과의 불일치가 딥페이크를 드러낸다.
회전각이 π를 넘는 큰 시간 간격에서는 데이터가 여러 경로로 설명될 수 있는 위상 모호성이 생긴다. 기하 제약이 없는 적분 기반 방법은 그럴듯하지만 틀린 해를 고른다 — IRK-SINDy는 부호가 뒤집힌 계수를, S-MNN은 보존 회전을 발산계로 바꾸는 부호 반전을 학습한다. GFG만이 다양체 제약으로 이 모호성을 해소하고 참값과 정렬된 궤적을 유지한다.
| 방법 | MSE ↓ | VPT ↑ | 발견된 방정식 |
|---|---|---|---|
| SINDy | 1.2902 | 3.8 | ẋ₁=−0.60x₁ (붕괴) |
| IRK-SINDy | 1.2926 | 3.8 | 부호 반전 |
| S-MNN | 38.35 | 3.8 | 발산계 |
| GFG (Ours) | 0.0003 | 26.1 | ẋ₁=−0.97x₂, ẋ₂=1.02x₁ |
기존 방법은 주변 발현 공간의 국소 평활성 휴리스틱에 의존해 세포 다양체와 어긋난 속도 벡터를 낳는다. Mouse Brain에서 이들은 V-SVZ에서 상층으로 향하는 생물학적으로 불가능한 전이를 만든다. GFG는 접선 다발 투영으로 이 지름길을 억제하고, 학습된 속도 원자가 계통 특이성을 드러낸다 — Atom 4는 신경 궤적(신경계 발생, p=7.30×10⁻⁶), Atom 11은 교세포 분기(세포외 기질 조직화)를 추적한다.
| 방법 | MouseBrain CBdir | Retina VeloCoh | Erythroid CBdir |
|---|---|---|---|
| scVelo | 0.435 | 0.922 | 0.067 |
| DeepVelo | 0.411 | 0.680 | 0.216 |
| Graphvelo | −0.143 | 0.759 | 0.569 |
| GFG (Ours) | 0.657 | 0.998 | 0.746 |
실제 영상은 연속 다양체를 따라 진화하지만, 생성 콘텐츠는 생성기 구조와 무관하게 탐지 가능한 기하 불규칙성을 보인다. 관측 픽셀 변위와 디코더 자코비안으로 예측한 다양체 흐름의 차이를 정규화 거리로 측정하면, 생성 영상은 최대 편차(1.0)에서 뚜렷한 봉우리를 보인다 — 정적 충실도가 높아도 내재적 기하 제약을 위반한다는 증거다. GFG는 NSG-VD를 대체하지 않고 보완하며, 결합 시 최고 성능을 낸다.
절제 실험은 두 구성요소가 서로 다른 역할을 한다는 것을 보인다. JVP 기하 제약을 제거하면 CBDir가 일관되게 떨어져, 접선 정렬이 기하학적으로 유효하고 생물학적으로 의미 있는 궤적을 지킨다는 것을 확인한다. VQ 코드북을 제거하면 훨씬 큰 저하가 나타난다 — Mouse Brain에서 CBDir가 0.657에서 0.106으로 붕괴해, VQ가 이질적 전이 모드를 분리하고 잡음에 강건하게 만드는 데 특히 중요함을 시사한다. 코드북 크기 L과 기하 가중치 λ에 대해서는 넓은 범위에서 안정적이며, λ>0을 도입하는 것만으로 λ=0 대비 큰 도약이 일어난다.
한계 — GFG의 기하 구성은 학습된 생성기가 국소적으로 미분 가능하고 조건이 양호하며, 지배 동역학이 학습된 다양체에 근사적으로 접선이라고 가정한다. 따라서 연속적 지배 전이를 가진 시스템에 적합하고, 급격한 점프나 강한 법선 효과, 접선 사전으로 잘 포착되지 않는 동역학에는 덜 적절하다. 또한 잠재 동역학과 학습된 생성기가 유일하게 식별 가능하지는 않다 — 서로 다른 잠재 매개변수화가 관측 공간에서 유사한 벡터장을 유도할 수 있다. 목표는 유일한 잠재 분해의 복원이 아니라, 관측 공간에서 기하학적으로 일관되고 의미 있는 동역학을 학습하는 것이다.